Question

（1）已知tanθ=3，求

sinθ+cosθ

2sinθ+cosθ

的值；
（2）已知0＜β＜

π

2

＜α＜π，且cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，求cos

α+β

2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）原式分子分母除以cosθ，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，將tanθ的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）根據(jù)α與β的范圍求出α-

β

2

與

α

2

-β的范圍，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sin（α-

β

2

）與cos（

α

2

-β）的值，將cos

α+β

2

變形為cos[（

α

2

-β）-（α-

β

2

）]，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（1）∵tanθ=3，
∴原式=

tanθ+1

2tanθ+1

=

4

7

；
（2）∵0＜β＜

π

2

＜α＜π，
∴-

π

4

＜

α

2

-β＜

π

2

，

π

4

＜α-

β

2

＜π，
∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，
∴sin（α-

β

2

）=

1-(- 1 9 )2

=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

1-( 2 3 )2

=

5

3

，
則cos

α+β

2

=cos[（

α

2

-β）-（α-

β

2

）]
=cos（

α

2

-β）cos（α-

β

2

）+sin（

α

2

-β）sin（α-

β

2

）
=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．