Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²-4x+c（a＞0）．
（1）若f（1）=0，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）的值域為[0，+∞），且f（1）≤4，則u=

a

c2+4

+

c

a2+4

的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（1）=0，得到a-4+c=0，即c=4-a并代入函數(shù)f（x）=ax²-4x+c得a（x-1）（x-

4-a

a

）≥0，分類討論解此不等式即可；
（2）根據(jù)f（1）≤4，求得4≤a+c≤8由題意可知，a＞0，△=0，從而求出ac=4，將所求式子中的4代換成ac，利用裂項法進行整理，進而利用函數(shù)的單調(diào)性求得u=

a

c2+4

+

c

a2+4

的最大值．

解答：解（1）∵f（1）=0，∴a-4+c=0，c=4-a，（1分）
∴不等式f（x）≥0即ax²-4x+c＞0，即a（x-1）（x-

4-a

a

）≥0．（3分）
①a＞2時，

4-a

a

＜1，不等式的解集為（-∞，

4-a

a

）∪[1，+∞）；
②a=2時，

4-a

a

=1，不等式的解集為R；
③0＜a＜2時，

4-a

a

＞1，不等式的解集為（-∞，1]∪[

4-a

a

，+∞）．
綜上所述，不等式的解集為：a＞2時，不等式的解集為（-∞，

4-a

a

）∪[1，+∞）；
a=2時，不等式的解集為R；
0＜a＜2時，

4-a

a

＞1，不等式的解集為（-∞，1]∪[

4-a

a

，+∞）．
（2）f（x）的值域為[0，+∞），故

a＞0 △=(-4)2-4ac=0

，即

a＞0 ac=4

又0≤f（1）≤4，即0≤a-4+c≤4，
所以4≤a+c≤8（10分）
u=

a

c2+ac

+

c

a2+ac

=

a2+c2

ac(a+c)

=

(a+c)2-2ac

ac(a+c)

=

a+c

4

-

2

a+c

（12分）
由y=t-

1

2t

的單調(diào)性，u_max=

7

4

（16分）

點評：此題是中檔題．考查一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的思想，注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定（比較兩根的大�。�，利用基本不等式求函數(shù)最值是高考考查的重點內(nèi)容，對不符合基本不等式形式的應(yīng)首先變形，然后必須滿足三個條件：一正、二定、三相等．同時注意裂項法的運用，同時考查了運算能力．