Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“好集合”．給出下列4個(gè)集合：
①　 ②M={（x，y）|y=e^x-2}　 ③M={（x，y）|y=cosx}　 ④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序號(hào)是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ③④
4. D.
   ①③④

Answer 1

C
分析：對(duì)于①利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．
對(duì)于②通過特例，滿足好集合的定義，畫出函數(shù)的圖象即可判斷正誤；
對(duì)于③通過特例，滿足好集合的定義，畫出函數(shù)的圖象即可判斷正誤；
對(duì)于④通過函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的范圍，即可判斷正誤；
解答：對(duì)于①是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；在另一支上對(duì)任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不滿足好集合的定義，不是好集合．
對(duì)于②M={（x，y）|y=e^x-2}，如圖（2）如圖紅線的直角始終存在，對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-1），則N（ln2，0），滿足好集合的定義，
所以是好集合；正確．
對(duì)于③M={（x，y）|y=cosx}，如圖（3）對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足好集合的定義，所以M是好集合；正確．
對(duì)于④M={（x，y）|y=lnx}，如圖（4）取點(diǎn)（1，0），曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是好集合．

所以②③正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查好集合的定義，利用對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關(guān)鍵，函數(shù)的基本性質(zhì)的考查，注意存在與任意的區(qū)別．