Question

在（1+x）ⁿ的展開式中，已知第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)相等．
（1）求（x²-

1

x

）ⁿ展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；
（2）求（x²+x-2）ⁿ展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）依題意，由

C

2 n

=

C

4 n

，可求得n，利用(x2-

1

x

)6的通項(xiàng)T_r+1=（-1）^r

C

r 6

x^12-3r即可求得其展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；
（2）利用（x²+x-2）⁶=（x²+x-2）•（x²+x-2）…（x²+x-2）（6個(gè)括號(hào)相乘），利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．

解答：解：由已知得

C

2 n

=

C

4 n

，即

n(n-1)

2

=

n(n-1)(n-2)(n-3)

4×3×2×1

，解得n=6 …（3分）
（1）∵(x2-

1

x

)6的通項(xiàng)T_r+1=

C

r 6

（x²）^6-r(-

1

x

)r=（-1）^r

C

r 6

x^12-3r，
∴當(dāng)r=3時(shí)，展開式中的系數(shù)最小，即T₄=-20x³為展開式中的系數(shù)最小的項(xiàng)；
當(dāng)r=2或r=4時(shí)，展開式中的系數(shù)最大，即T₃=15x⁶，T₅=15為展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng) …（9分）
（2）∵（x²+x-2）⁶=（x²+x-2）•（x²+x-2）•…•（x²+x-2）（6個(gè)括號(hào)相乘），
要出現(xiàn)x²項(xiàng)，有兩類：
一類是6個(gè)括號(hào)中有一個(gè)括號(hào)提供x²項(xiàng)，另5個(gè)括號(hào)均提供-2，共有

C

1 6

×（-2）⁵=-192個(gè)；
另一類是6個(gè)括號(hào)中有二個(gè)括號(hào)提供x項(xiàng)，另4個(gè)括號(hào)均提供-2，共有

C

2 6

×1²×（-2）⁴=240個(gè)；
∴（x²+x-2）⁶展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)為

C

1 6

×（-2）⁵+

C

2 6

×1²×（-2）⁴=-192+240=48．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，著重考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式與組合數(shù)的性質(zhì)，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．