(本小題滿分14分)

已知橢圓的中心在坐標原點,兩個焦點分別為,點在橢圓 上,過點的直線與拋物線交于兩點,拋物線在點處的切線分別為,且交于點.

(1) 求橢圓的方程;

(2) 是否存在滿足的點? 若存在,指出這樣的點有幾個(不必求出點的坐標); 若不存在,說明理由.

 

【答案】

(1)  (2) 滿足條件的點有兩個

【解析】

試題分析:(1) 解法1:設橢圓的方程為,

依題意:    解得:   

∴ 橢圓的方程為.

解法2:設橢圓的方程為,

根據(jù)橢圓的定義得,即, 

,  ∴.  

∴ 橢圓的方程為.

(2)解法1:設點,,則,

三點共線,

.  

,                  

化簡得:. ① 

,即

∴拋物線在點處的切線的方程為,即. ②

同理,拋物線在點處的切線的方程為 .    ③        

設點,由②③得:

,則 .

代入②得 ,   

,代入 ① 得 ,即點的軌跡方程為.

 ,則點在橢圓上,而點又在直線上,

∵直線經(jīng)過橢圓內一點,

∴直線與橢圓交于兩點.

∴滿足條件 的點有兩個.

解法2:設點,,,

,即

∴拋物線在點處的切線的方程為,

, ∴ .

∵點在切線上,  ∴.       ①  

同理, . ②    

綜合①、②得,點的坐標都滿足方程.

∵經(jīng)過的直線是唯一的,

∴直線的方程為,  

∵點在直線上,     ∴

∴點的軌跡方程為.  

 ,則點在橢圓上,又在直線上,

∵直線經(jīng)過橢圓內一點,

∴直線與橢圓交于兩點.

∴滿足條件 的點有兩個.

解法3:顯然直線的斜率存在,設直線的方程為,

消去,得.

,則

,即.

∴拋物線在點處的切線的方程為,即.

, ∴.                                

同理,得拋物線在點處的切線的方程為.

解得                    

,

∴點在橢圓上.

.

化簡得.(*)

,

可得方程(*)有兩個不等的實數(shù)根. ∴滿足條件的點有兩個.

考點:橢圓拋物線方程及性質,直線與橢圓拋物線相交的應用

點評:求橢圓方程采用了待定系數(shù)法與定義法,其中待定系數(shù)法是常用的方法,而利用定義求解能使一些題目的計算量較小很多;第二問在直線與圓錐曲線相交的背景下常聯(lián)立方程,利用韋達定理求解

 

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4
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π
4
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