Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一個根為S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）證明：數(shù)列{

1

Sn-1

}是等差數(shù)列；
（2）設方程x²-a_nx-a_n=0的另一個根為x_n，數(shù)列{

1

2nxn

}的前n項和為T_n，求2²⁰¹³（2-T₂₀₁₃）的值；
（3）是否存在不同的正整數(shù)p，q，使得S₁，S_p，S_q成等比數(shù)列，若存在，求出滿足條件的p，q，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明∵S_n-1是方程x²-a_nx-a_n=0的根，n=1，2，3，…
∴(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0
當n=1時，a₁=S₁，
∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，
解得S1=a1=

1

2

，
∴

1

S1-1

=-2…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∴(Sn-1)2-(Sn-Sn-1)(Sn-1)-(Sn-Sn-1)=0
化簡得S_nS_n-1-2S_n+1=0，
∴Sn=

-1

Sn-1-2

，
∴

1

Sn-1

=

1

Sn-1-1

-1，
∴

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1，又

1

S1-1

=-2…（5分）
∴數(shù)列{

1

Sn-1

}是以-2為首項，-1為公差的等差數(shù)列          …（6分）
（2）由（1）得，

1

Sn-1

=-2-(n-1)=-n-1
∴Sn-1=-

1

n+1

，帶入方程得，(-

1

n+1

)2-an(-

1

n+1

)-an=0，∴an=

1

n(n+1)

，
∴原方程為x2-

1

n(n+1)

x-

1

n(n+1)

=0，
∴xn=

1

n

，
∴

1

2nxn

=

1

n2n

…（8分）
∴Tn=

1

1×21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

…（11分）Tn=2-

2+n

2n

，
∴2²⁰¹³（2-T₂₀₁₃）=2015…（12分）
（3）由（1）可得S_n=

n

n+1

假設存在不同的正整數(shù)p，q使得S₁，S_p，S_q成等比數(shù)列
則sp2=s1•sq
即(

p

p+1

)2=

q

2(q+1)

∵

q

2(q+1)

=

1

2

-

1

2(q+1)

＜

1

2

（14分）
∴(

p

p+1

)2＜

1

2

化簡可得，p²-2p-1＜0
∴1-

2

＜p＜1+

2

∵p∈N^*且p＞1
∴p=2
∴

q

2(q+1)

=

4

9

∴q=8
∴存在不同的正整數(shù)p=2，q=8使得S₁，S_p，S_q成等比數(shù)列（16分）