Question

已知函數(shù)f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為2

2

-1．
（1）求f（x）解析式；
（2）寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）由f（x）的圖象能否得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，如果能，寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，不能說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）和最大值為2

2

-1，建立關(guān)于a、b的方程組，從而解出a、b的值，即可得到函數(shù)f（x）解析式；
（2）由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）將f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位得到y(tǒng)=-1+2

2

cosx的圖象，根據(jù)余弦函數(shù)為偶函數(shù)知平移所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)就是滿足條件的一個(gè)函數(shù)，從而得到答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A（

π

2

，1），
∴a+

2

bsin(

π

2

+

π

4

)=a+b=1．…①
又∵當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為2

2

-1．
∴a+

2

b=2

2

-1，…②
聯(lián)解①②，可得a=-1、b=2，
∴函數(shù)f（x）解析式為：f(x)=-1+2

2

sin(x+

π

4

)；
（2）令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得-

3π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

3π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，（k∈Z）；
（3）將f（x）的圖象的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，
得y=f（x+

π

4

）=-1+2

2

sin[(x+

π

4

)+

π

4

]=-1+2

2

cosx的圖象，
設(shè)g（x）=-1+2

2

cosx，可得g（-x）=-1+2

2

cos（-x）=-1+2

2

cosx=g（x），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
因此，f（x）的圖象能得到偶函數(shù)的圖象，其一個(gè)解析式為y=-1+2

2

cosx．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)圖象滿足的條件，求其解析式并研究其單調(diào)性和奇偶性．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、函數(shù)圖象的平移等知識(shí)，屬于中檔題．