若f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a），其中a≤b≤c，對于下列結(jié)論：①f（b）≤0； ②若
b=，則?x∈R，f（x）≥f（b）；③若
b≤，則f（a）≤f（c）；④f（a）=f（c）成立充要條件為b=0．其中正確的是
．（請?zhí)顚懶蛱枺?/div>
考點：命題的真假判斷與應(yīng)用
專題：探究型
分析：①求出f（b），然后條件條件進(jìn)行判斷即可．
②利用作差法證明不等式即可．
③利用作差法證明不等式即可．
④解方程f（a）=f（c）得到方程成立的條件即可進(jìn)行判斷．
解答：
解：①∵f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a），
∴f（b）=（b-c）（b-a），
∵a≤b≤c，
∴b-c≤0，b-a≥0，
∴f（b）=（b-c）（b-a）≤0，∴①正確．
②∵f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=3x
2-2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
f（b）=（b-c）（b-a）=b
2-bc-ab+ac，
∴f（x）-f（b）=3x
2-2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）-（b
2-bc-ab+ac）
=3x
2-2（a+b+c）x+（2ab+2bc-b
2），
∵
b=，∴a+c=2b，
∴f（x）-f（b）=3x
2-2（a+b+c）x+（2ab+2bc-b
2）=3x
2-6bx+3b
2=2（x-b）
2≥0，
∴?x∈R，f（x）≥f（b）成立，∴②正確．
③∵f（a）=（a-b）（a-c），f（c）=（c-a）（c-b），
∴f（a）-f（c）=（a-b）（a-c）-（c-a）（c-b）=（a-c）（a-b+c-b）=（a-c）（a+c-2b），
若
b≤，則a+c≥2b，
∵a≤b≤c，
∴a-c≤0，a+c-2b≥0，
∴f（a）-f（c）=（a-c）（a+c-2b）≤0，∴③正確．
④f（a）=（a-b）（a-c），f（c）=（c-a）（c-b），
若f（a）=f（c），
即（a-b）（a-c）=（c-a）（c-b），
∴（a-c）（a+c-2b）=0，
即a=c或a+c=2b，∴④錯誤．
故正確的是①②③，
故答案為：①②③
點評：本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用作差法以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．
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