Question

已知雙曲線C的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），離心率e=

5

2

，頂點到漸近線的距離為

2 5

5

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若

AP

=λ

PB

，λ∈[

1

3

，2]，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由雙曲線標準方程求得頂點坐標和漸近線方程，進而根據(jù)頂點到漸近線的距離求得a，b和c的關系，進而根據(jù)離心率求得a和c的關系，最后根據(jù)c=

a2+b2

綜合得方程組求得a，b和c，則雙曲線方程可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得漸近線方程，設A（m，2m），B（-n，2n），根據(jù)

AP

=λ

PB

得P點的坐標代入雙曲線方程化簡整理m，n與λ的關系式，設∠AOB=2θ，進而根據(jù)直線的斜率求得tanθ，進而求得sin2θ，進而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達式，根據(jù)λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，雙曲線C的頂點（O，a）到漸近線ax-by=0的距離為

2 5

5

，
∴

ab

a2+b2

=

2 5

5

，即

ab

c

=

2 5

5

，
由

ab c = 2 5 5 c a = 5 2 c2=a2+b2

，得

a=2 b=1 c= 5

∴雙曲線C的方程為

y2

4

-x2=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x．
設A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
由

AP

=λ

PB

得P點的坐標為(

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

)，
將P點坐標代入

y2

4

-x2=1，化簡得mn=

(1+λ)2

4λ

．
設∠AOB=2θ，∵tan(

π

2

-θ)=2，∴tanθ=

1

2

，sinθ=

5

5

，sin2θ=

4

5

．
又|OA|=

5

m

，|OB|=

5

n+
∴S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ=2mn=

1

2

(λ+

1

λ

)+1．
記S(λ)=

1

2

(λ+

1

λ

)+1，λ∈[

1

3

，2]，
由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，S(

1

3

)=

8

3

，S(2)=

9

4

，
當λ=1時，△AOB的面積取得最小值2，當λ=

1

3

時，
△AOB的面積取得最大值

8

3．

∴△AOB面積的取值范圍是[2，

8

3

]．

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題的能力．