Question

（09年崇文區(qū)二模理）（13分）

        設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；

②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”

   （I）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

   （III）設(shè)x₁是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中任意的x₂，x₃，當(dāng)時(shí)，有

Answer 1

解析：（I）因?yàn)?IMG height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090513/20090513154627001.gif' width=396>，又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根0。

    所以函數(shù)是的集合M中的元素。………………………………3分

   （II）假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)

        使得等式成立。

        因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090513/20090513154627007.gif' width=289>

        與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；…………8分

   （III）不妨設(shè)

    又因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090513/20090513154627011.gif' width=215>為減函數(shù)，

所以

所以

    所以

         …………………………13分