Question

14．已知x是實(shí)數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．若a_n=[log₂n]．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求${S}_{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由題目給出的定義，逐步分析得到規(guī)律，結(jié)合[log₂（2^m+1-1）]=m，由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．

解答 解：由[log₂1]=0，
[log₂2]=[log₂3]=1，
[log₂2²]=[log₂（2²+1）]=…=[log₂（2³-1）]=2，
…
[log₂2^n-1]=[log₂（2^n-1+1）]=…=[log₂（2ⁿ-1）]=n-1．
[log₂2ⁿ]=n．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂2ⁿ]
=0+1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n．
記S=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1，
2S=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ，
相減可得-S=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-1）•2ⁿ，
化簡(jiǎn)可得S=（n-2）•2ⁿ+2，
則有${S}_{{2}^{n}}$=（n-2）•2ⁿ+2+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)運(yùn)算規(guī)律的探究，考查了學(xué)生的靈活處理問(wèn)題的能力和進(jìn)行繁雜運(yùn)算的能力，是有一定難度的題目．