平面內(nèi)有n條直線,其中無任何兩條平行,也無任何三條共點(diǎn),求證:這n條直線把平面分割成
12
(n2+n+2)塊.
分析:直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟證明,(1)驗(yàn)證n=1時(shí)命題的正確性;(2)通過假設(shè)n=k時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也正確即可.
解答:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),1條直線把平面分成2塊,又
1
2
(12+1+2)=2,命題成立.
(2)假設(shè)n=k時(shí),k≥1命題成立,即k條滿足題設(shè)的直線把平面分成
1
2
(k2+k+2)塊,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1條直線被k條直線分成k+1段,
每段把它們所在的平面塊又分成了2塊,因此,增加了k+1個(gè)平面塊.
所以k+1條直線把平面分成了
1
2
(k2+k+2)+k+1=
1
2
[(k+1)2+(k+1)+2]塊,
這說明當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.
由(1)(2)知,對(duì)一切n∈N*,命題都成立.
點(diǎn)評(píng):本題是基礎(chǔ)題,考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,注意n=k和n=k+1時(shí)的證明方法,是本類題型的證明策略.
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