Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）；當(dāng)x，y∈（-1，0）時，有f（x）＞0；若P=f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

r2+r-1

）+…+f（

1

20122+2012-1

），Q=f（

1

2

），R=f（0）．則P，Q，R的大小關(guān)系為（　�。�

A．R＞Q＞P

B．P＞R＞Q

C．R＞P＞Q

D．不能確定

Answer 1

分析：在已知函數(shù)中令y=x=0可得f（0）=0，令x=0可得f（-y）=-f（y）可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，由x∈（-1，0）時，f （x）＞0可知f（x）是單調(diào)減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的這些性質(zhì)及已知函數(shù)的關(guān)系可比較P，Q，R的大�。�

解答：解：∵定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
令y=x=0可得f（0）-f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令x=0可得f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y），
∴f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0
則-1＜x₁-x₂＜0，0＜1-x₁x₂＜1
∴-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，0）上是單調(diào)減函數(shù)，
根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反可知，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∵f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
P=f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

r2+r-1

）+…+f（

1

20122+2012-1

）=[f（

1

2

）-f（

1

3

）]+[f（

1

3

）-f（

1

4

）]+[f（

1

4

）-f（

1

5

）]+…+[f（

1

2012

）-f（

1

2013

）]
=f（

1

2

）-f（

1

2013

）=f（

2011

4025

），
∵

1

2

＞

2011

4025

＞0，
∴f（

1

2

）＜f（

2011

4025

）＜f（0），
∴R＞P＞Q，
故選C．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及利用賦值法比較函數(shù)值的大小，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．本題的關(guān)鍵在于如何利用恒等式將P的表達式轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)值的形式，運用了數(shù)列求和中“裂項相消”的思想方法．有一定的難度．屬于難題．