Question

如圖，兩個(gè)工廠A、B相距2km，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，要在以O(shè)為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB.據(jù)測(cè)算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數(shù)為1；辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數(shù)為4，辦公樓與A、B兩廠的“總噪音影響度”y是A、B兩廠“噪音影響度”的和，設(shè)AP為xkm.
 
(1)求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出該函數(shù)的定義域；
(2)當(dāng)AP為多少時(shí)，“總噪音影響度”最��？

Answer 1

（1）y＝(≤x≤)（2）AP＝km

(1)(解法1)如圖，連結(jié)OP，

設(shè)∠AOP＝α，則≤α≤.
在△AOP中，由余弦定理得x²＝1²＋2²－2×1×2cosα＝5－4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP²＝1²＋2²－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，
∴BP²＝10－x²，∴y＝.
∵≤α≤，∴≤x≤，∴y＝(≤x≤)．

(解法2)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(－1，0)，B(1，0)，設(shè)P(m，n)，則PA²＝(m＋1)²＋n²，PB²＝(m－1)²＋n².
∵m²＋n²＝4，PA＝x，
∴PB²＝10－x²(后面解法過程同解法1)．
(2)(解法1)y＝＝[x²＋(10－x²)]
＝(5＋)≥(5＋2)＝，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝∈[，]時(shí)取等號(hào)．
故當(dāng)AP＝km時(shí)，“總噪音影響度”最�。�
(解法2)由y＝，得
y′＝－.
∵≤x≤，∴令y′＝0，得x＝，且當(dāng)x∈時(shí)，y′<0；當(dāng)x∈(，]時(shí)，y′>0.∴x＝時(shí)，y＝取極小值，也即最小值．故當(dāng)AP＝km時(shí)，“總噪音影響度”最小