Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2In（1-x）（a為實(shí)數(shù)）．
（1）若f（x）在[-3，-2 ）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）_max=1-2，求出a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)，然后轉(zhuǎn)化成f'（x）≥0，對(duì)一切x∈[-3，-2）恒成立，分離出參數(shù)，求出a的范圍；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，則f'（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，沒有最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，得出f'（x）≤2a-2，進(jìn)而求出f'（x）max=2a-2，即可求出a的值．
解答：解：（1）由題意得f'（x）≥0，對(duì)一切x∈[-3，-2）恒成立，
即2ax-≥0對(duì)一切x∈[-3，-2）恒成立．（2分）
∴2ax≥，a≤=，（3分）
當(dāng)x∈[-3，-2）時(shí)，-（x-）²+＜-6，
∴＞-
∴a≤-，所以a的取值范圍是（-∞，-]．（6分）
（2）因?yàn)閒'（x）=2ax-，
當(dāng)a≤0時(shí)，則f'（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，沒有最大值．（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，∵x＜1∴2a（1-x）＞0，＞0，∴f'（x）≤2a-2．（10分）
由2a（1-x）=得，x=1±  由于x=1+＞1，舍去．
所以當(dāng)x=1-時(shí)，f'（x）max=2a-2．（11分）
令2a-2=1-2，解得a=或a=-2，即為所求．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題要轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題來(lái)解決，屬于中檔題．