Question

6．已知P（3，-1），N（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），M（6，2），直線l過P點(diǎn)，且與線段MN相交，則直線l的斜率的取值范圍是（　　）

• A． [-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• B． [-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• C． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]∪[1，+∞）
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]

Answer 1

分析 先由P（3，-1），N（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），M（6，2），求得直線NP和MP的斜率，再根據(jù)直線l的傾斜角為銳角或鈍角加以討論，將直線l繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并觀察傾斜角的變化，由直線的斜率公式加以計(jì)算，分別得到直線l斜率的范圍，最后綜合可得答案．

解答 解：∵P（3，-1），N（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴直線NP的斜率k₁=$\frac{\sqrt{3}+1}{-\sqrt{3}-3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
同理可得直線MP的斜率k₂=$\frac{2+1}{6-3}$=1．
設(shè)直線l與線段AB交于Q點(diǎn)，
當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，隨著Q從M向N移動(dòng)的過程中，l的傾斜角變大，
l的斜率也變大，直到PQ平行y軸時(shí)l的斜率不存在，此時(shí)l的斜率k≥1；
當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時(shí)，隨著l的傾斜角變大，l的斜率從負(fù)無窮增大到
直線NP的斜率，此時(shí)l的斜率k≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
綜上所述，可得直線l的斜率取值范圍為：（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]∪[1，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題給出經(jīng)過定點(diǎn)P的直線l與線段MN有公共點(diǎn)，求l的斜率取值范圍．著重考查了直線的斜率與傾斜角及其應(yīng)用的知識，屬于中檔題．