Question

已知關(guān)于x，y的方程x²+y²-2x-4y+m=0
（Ⅰ）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程表示圓；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若從點(diǎn)P（3，1）射出的光線，經(jīng)x軸于點(diǎn)Q（

3

5

，0）處反射后，與圓相切，求圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方程C可化為：（x-1）²+（y-2）²=5-m，方程表示圓，應(yīng)有5-m＞0，從而可求m的值．
（Ⅱ）求出P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，由對(duì)稱知直線P′Q與圓相切，從而利用點(diǎn)到直線的距離公式及圓心到直線的距離等于半徑，可求圓的半徑，從而得圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，…（3分）
當(dāng)5-m＞0時(shí)，即m＜5時(shí)，方程C表示圓．…（5分）
（Ⅱ）P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′（3，-1），由對(duì)稱性知直線P′Q與圓相切．…（6分）
∵點(diǎn)Q（

3

5

，0），∴直線P′Q的方程為

y-0

-1-0

=

x- 3 5

3- 3 5

，即5x+12y-3=0，…（7分）
圓心C（1，2）到直線P′Q距離為d=

|5+24-3|

52+122

=2                  …（10分）
∵直線P′Q與圓相切，∴d=r
∴2=

5-m

，解得m=1                …（12分）
所以圓的方程為：（x-1）²+（y-2）²=4                                       …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以圓的一般方程為載體，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相切，關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑．