【題目】已知函數(shù).
(1)若,證明:當(dāng)
時(shí),
;
(2)若在
只有一個(gè)零點(diǎn),求
.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式,(2)研究
零點(diǎn),等價(jià)研究
的零點(diǎn),先求
導(dǎo)數(shù):
,這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn),一個(gè)是a與零,一個(gè)是x與2,當(dāng)
時(shí),
,
沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)
時(shí),
先減后增,從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件,再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性,即得a的值.
詳解:(1)當(dāng)時(shí),
等價(jià)于
.
設(shè)函數(shù),則
.
當(dāng)時(shí),
,所以
在
單調(diào)遞減.
而,故當(dāng)
時(shí),
,即
.
(2)設(shè)函數(shù).
在
只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)
在
只有一個(gè)零點(diǎn).
(i)當(dāng)時(shí),
,
沒(méi)有零點(diǎn);
(ii)當(dāng)時(shí),
.
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
所以在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增.
故是
在
的最小值.
①若,即
,
在
沒(méi)有零點(diǎn);
②若,即
,
在
只有一個(gè)零點(diǎn);
③若,即
,由于
,所以
在
有一個(gè)零點(diǎn),
由(1)知,當(dāng)時(shí),
,所以
.
故在
有一個(gè)零點(diǎn),因此
在
有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,在
只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年是中華人民共和國(guó)成立70周年,某校黨支部舉辦了一場(chǎng)“我和我的祖國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽,滿(mǎn)分100分,回收40份答卷,成績(jī)均落在區(qū)間內(nèi),將成績(jī)繪制成如下的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù);
(2)從,
分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣隨機(jī)抽取5份答卷,再?gòu)膶?duì)應(yīng)的黨員中選出3位黨員參加縣級(jí)交流會(huì),求選出的3位黨員中有2位成績(jī)來(lái)自于
分?jǐn)?shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,
,
,
,四邊形
為矩形,平面
平面
,
.
(Ⅰ)求證: 平面
;
(Ⅱ)點(diǎn)在線段
上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面
與平面
所成銳二面角為
,試求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,證明:當(dāng)
時(shí),
;
(2)若在
只有一個(gè)零點(diǎn),求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是等差數(shù)列,滿(mǎn)足
,
,數(shù)列
滿(mǎn)足
,
,且
是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和
的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前
項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015·湖南)某工作的三視圖如圖3所示,現(xiàn)將該工作通過(guò)切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為(材料利用率=新工件的體積/原工件的體積)
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列五個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)=2a2x-1-1的圖象過(guò)定點(diǎn)(,-1);
②已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(x+1),若f(a)=-2則實(shí)數(shù)a=-1或2.
③若loga>1,則a的取值范圍是(
,1);
④若對(duì)于任意x∈R都f(x)=f(4-x)成立,則f(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng);
⑤對(duì)于函數(shù)f(x)=lnx,其定義域內(nèi)任意x1≠x2都滿(mǎn)足f()≥
其中所有正確命題的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)=[
]
.
(Ⅰ)若曲線y= f(x)在點(diǎn)(1,)處的切線與
軸平行,求a;
(Ⅱ)若在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.
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