Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求證：y=f（x）為奇函數(shù)；
（2）在區(qū)間[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

Answer 1

（1）證明：令x=y=0，得f（0）=0
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)…（6分）
（2）對(duì)任取實(shí)數(shù)x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，這時(shí)，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁）
因?yàn)閤＞0時(shí)f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在[-9，9]上是減函數(shù)
故f（x）的最大值為f（-9），最小值為f（9）
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12
∴f（x）在區(qū)間[-9，9]上的最大值為12，最小值為-12  …（12分）