Question

底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中，AB=

3

，BC=1，PA=2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E為PD的中點(diǎn)
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出點(diǎn)N到AB和AP的距離．

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，可得B、C、D、P、E各點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到向量

AC

、

PB

的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式即可算出AC與PB所成角的余弦值；
（2）根據(jù)N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0，z），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出x=

3

6

且z=1，得N(

3

6

，0，1)，即可得到側(cè)面PAB內(nèi)存在點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并可給出N點(diǎn)到AB和AP的距離．

解答：解：（1）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示
可得B(

3

，0，0)、C(

3

，1，0)、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E(0，

1

2

，1)，
從而

AC

=(

3

，1，0)，

PB

=(

3

，0，-2)．
設(shè)

AC

與

PB

的夾角為θ，則
cosθ=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

3

2 7

=

3 7

14

，
∴AC與PB所成角的余弦值為

3 7

14

（Ⅱ）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0，z），
則

NE

=(-x，

1

2

，1-z)，
由NE⊥面PAC可得，

NE • AP =0 NE • AC =0

，即

(-x， 1 2 ，1-z)•(0，0，2)=0 (-x， 1 2 ，1-z)•( 3 ，1，0)=0

化簡得

z-1=0 - 3 x+ 1 2 =0

，即

x= 3 6 z=1

，可得N點(diǎn)的坐標(biāo)為(

3

6

，0，1)，
從而側(cè)面PAB內(nèi)存在點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，N點(diǎn)到AB和AP的距離分別為1，

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的四棱錐中求異面直線所成角的余弦值，并探索側(cè)面PAB內(nèi)滿足NE⊥面PAC的點(diǎn)P位置，著重考查了空間向量的夾角公式、平面法向量的求法和利用空間向量研究空間位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．