Question

在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，，則下列結(jié)論中正確的是

1. A.
   數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列
2. B.
   數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列
3. C.
   數(shù)列{a_n}是常數(shù)列
4. D.
   數(shù)列{a_n}有可能是遞增數(shù)列也有可能是遞減數(shù)列

Answer 1

C
分析：由條件利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)可得 +=2 ，設(shè)公比為q，則得 q⁴+q⁸=2q⁶，求得 q²=1，q=1，由此得出結(jié)論．
解答：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，∵ 成立，即 a₁a₅+a₁a₇+a₃a₅+a₃a₇=4成立．
利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)化簡可得 +++=4，進(jìn)一步化簡得 +=2 ．
設(shè)公比為q，則得 q⁴+q⁸=2q⁶，化簡可得 1+q⁴=2q²，即 （q²-1）²=1，
∴q²=1，故q=1．（由于各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，故q=-1舍去）
故此等比數(shù)列是常數(shù)列，
故選 C．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求得 q²=1，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．