Question

已知函數f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)，若f（x）滿足f（-x）=-f（x）．
（1）求實數a的值；
（2）證明f（x）是R上的增函數；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=0．求出實數a的值，得出f(x)=

2x-1

2x+1

，
（2）直接利用函數單調性的證明步驟進行證明
（3）采用分子變常數法得出f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，再利用反比例函數性質求解．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為R，又f（x）滿足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．所以

2a-2

2

=0，解得a=1，…（3分）
此時，f(x)=

2x-1

2x+1

，經檢驗f（x），滿足題意，故a=1           …（4分）
（2）設x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=

2x2-1

1+2x2

-

2x1-1

1+2x1

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
∴2x2-2x1＞0，(1+2x1)(1+2x2)＞0
∴f（ x₂）-f（ x₁）＞0
f（ x₂）＞f（ x₁）
所以f（x）在定義域R上為增函數．…（8分）
（3）f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，…（11分）
因為2^x+1＞1，，所以0＜

2

2x+1

＜2即f（x）的值域為（-1，1）．…（12分）

點評：本題考查函數解析式求解、函數的奇偶性、單調性的判定．考查轉化、計算、論證能力．