Question

如圖，等腰梯形OABC，底角為45°，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（6，0），B（4，2），C（2，2）．一條與y軸平行的動(dòng)直線l從O點(diǎn)開(kāi)始做平行移動(dòng)，到A點(diǎn)為止．設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)M，記OM=x，記梯形被直線l截得的在l左側(cè)的圖形面積為y．
（1）函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)的定義域、值域；
（3）計(jì)算[f（

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2

）]的值．

Answer 1

分析：（1）分直線l從O運(yùn)動(dòng)到C，從C運(yùn)動(dòng)到B，從B運(yùn)動(dòng)到A三種情況寫(xiě)出對(duì)應(yīng)圖形的面積，所以函數(shù)為分段函數(shù)；
（2）分段求出各部分的值域，取并集；
（3）根據(jù)

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所在的區(qū)間代入相應(yīng)的解析式求解．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤2，y=

1

2

x2，
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=

1

2

×2×2+2×(x-2)=2x-2．
當(dāng)4＜x≤6時(shí)，y=

1

2

×2×2+2×2+

1

2

×2×2-

1

2

(6-x)2=-

1

2

x2+6x-10．
所以f(x)=

1 2 x2                (0≤x≤2) 2x-2               (2＜x≤4) - 1 2 x2+6x-10(4＜x≤6)

（2）函數(shù)定義域?yàn)閇0，6]，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=

1

2

x2∈[0，2]；
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=2x-2∈（2，6]；
當(dāng)4＜x≤6時(shí)，y=-

1

2

x2+6x-10∈(6，8]，
所以函數(shù)值域?yàn)閇0，8]．
（3）f(

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)=2×

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2

-2=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了實(shí)際背景下的分段函數(shù)解析式的求解方法，解答的關(guān)鍵是根據(jù)變量在不同的區(qū)間段列不同的解析式，同時(shí)注意分段函數(shù)的定義域和值域都是各段的并集．