Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4x+2（a＞0）滿足：對于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立．
（1）若a=3，求m的最大值
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值是-3，求a的值
（3）對于給定的正數(shù)a，當(dāng)a為何值時，m最大？并求出這個最大的m．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）先配方，利用對于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立，可知m的最大值是方程3x²-4x+2=4的較大根；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）對于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值-3∈[-4，4]，所以f（x）=ax²-4x+2區(qū)間[0，m]上的最小值是在對稱軸處取得；
（3））因為 f(x)=a(x-

2

a

)2+2-

4

a

，所以  f(x)min=2-

4

a

，與-4比較，進(jìn)行分類討論，我們就可以求出這個最大的m．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3時，f(x)=3x2-4x+2=3(x-

2

3

)2+

2

3

≥-4…（2分）
因為函數(shù)f（x）對于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立
所以m的最大值是方程3x²-4x+2=4的較大根，故m=

2+ 10

3

…（4分）
（2）因為-3∈[-4，4]，所以f（x）=ax²-4x+2區(qū)間[0，m]上的最小值是在對稱軸處取得，…（7分）
所以f(

2

a

)=-3，所以

8a-16

4a

=-3，所以a=

4

5

…（8分）
（3）因為 f(x)=a(x-

2

a

)2+2-

4

a

，所以  f(x)min=2-

4

a

．…（9分）
①若2-

4

a

＜-4，即0＜a＜

2

3

時，m是方程ax²-4x+2=-4的較小根…（11分）
解之得：m=

2- 4-6a

a

．…（12分）
②若2-

4

a

≥-4，即a≥

2

3

時，所以m是方程ax²-4x+2=-4的較大根，即m=

2+ 4-6a

a

…（14分）
并且f(x)min=2-

4

a

越小，m越大，
故當(dāng)2-

4

a

=-4，即a=

2

3

時，m可以取到最大為3
又因為

2+ 4-6a

a

≥

2- 4-6a

a

．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=

2

3

時，m取得最大值3…（16分）

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查配方法解決函數(shù)最值問題，問題（3）分類討論是關(guān)鍵．