Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過(guò)點(diǎn)(4，-

10

)．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），求雙曲線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程，假設(shè)雙曲線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到雙曲線方程；
（2）表示出|PA|，利用二次函數(shù)的配方法，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）------------------（2分）
將點(diǎn)(4，-

10

)代入雙曲線方程，得42-(-

10

)2=λ，即λ=6----------------------（5分）
所以，所求的雙曲線方程為x²-y²=6----------------------（7分）
（2）設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)P（x₁，y₁），則x12-y22=6
從而|PA|=

x 2 1 +(y1-2)2

=

6+ y 2 1 + y 2 1 -4y1+4

=

2 y 2 1 -4y1+10

=

2(y1-1)2+8

--------------（10分）
當(dāng)y₁=1時(shí)，|PA|有最小值2

2

所以當(dāng)P的坐標(biāo)為(±

7

，1)時(shí)，|PA|有最小值2

2

．----------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，屬于中檔題．