Question

已知函數f（x）=x²+ax+2ln（x-1），a是常數．
（1）若a=1，求y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f′（x）＞（a-3）x²對?x∈（2，3）恒成立，求a的取值范圍．
（參考公式：3x³-x²-2x+2=（x+1）（3x²-4x+2））

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數的幾何意義，求得切線斜率，由點斜式寫出切線方程；
（2）由f′（x）＞（a-3）x²恒成立得a(x2-1)＜3x2+2x+

2

x-1

=

3x3-x2-2x+2

x-1

，對?x∈（2，3），x²-1＞0，所以a＜

3x3-x2-2x+2

(x-1)(x2-1)

=

(3x2-4x+2)(x+1)

(x-1)2(x+1)

=

3x2-4x+2

(x-1)2

，設g(x)=

3x2-4x+2

(x-1)2

，即a＜g（x）_min即可，利用導數求出g（x）的最小值，即得結論．

解答： 解：（1）由a=1，f/(x)=2x+1+

2

x-1

，…（1分）  
∴f′（2）=7…（2分），又f（2）=6
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））的切線為y-6=7（x-2）…（4分），
即y=f（x）在點（2，f（2））的切線為y=7x-8；…（5分）
（2）由f′（x）＞（a-3）x²得a(x2-1)＜3x2+2x+

2

x-1

=

3x3-x2-2x+2

x-1

…（6分），
對?x∈（2，3），x²-1＞0，所以a＜

3x3-x2-2x+2

(x-1)(x2-1)

=

(3x2-4x+2)(x+1)

(x-1)2(x+1)

=

3x2-4x+2

(x-1)2

…（8分），
設g(x)=

3x2-4x+2

(x-1)2

，則g/(x)=

-2x

(x-1)3

＜0…（10分），
g（x）在區(qū)間（2，3）單調遞減…（11分），
∴a≤g(3)=

17

4

，a的取值范圍為(-∞，

17

4

]…（14分）．

點評：本題主要考查利用導數研究曲線的切線方程及函數的最值問題，考查恒成立問題的等價轉化能力，邏輯運算能力強，屬難題．