Question

19．對(duì)定義在[0，1]上的函數(shù)f（x），如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（1）判斷g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）若f（x）為理想函數(shù)，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）為理想函數(shù)，假設(shè)存在x₀∈[0，1]滿足f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）①要判斷函數(shù)g（x）=2^x-1，（x∈[0，1]）在區(qū)間[0，1]上是否為“理想函數(shù)，只要檢驗(yàn)函數(shù)g（x）=2^x-1，是否滿足理想函數(shù)的三個(gè)條件即可；
（2）先研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而得出此函數(shù)的最值．得到當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值2，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值3即可；
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時(shí)，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導(dǎo)出f（x₀）=x₀．，根據(jù)f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀．

解答 解：（1）①顯然f（x）=2^x-1在[0，1]上滿足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0
故f（x）=2^x-1滿足條件①②③，所以f（x）=2^x-1為理想函數(shù)，
（2）設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，則x₂-x₁∈（0，1]
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2
∴f（x₂）-f（x₁）≥f （x₂-x₁）-2≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂），則當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x₁=x₂=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=3，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值2，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值3，
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時(shí)，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．

點(diǎn)評(píng) 賦值法是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法，函數(shù)的新定義則轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，本題則結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，探討函數(shù)的函數(shù)值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．