Question

(本題滿分13分)已知y= F(x)的導函數為f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0),

函數y=f(x)的圖象如右圖所示，且函數y=F(x)的圖象經過（1，2）和（－1，2）兩點，又過點（1，0）作斜率之積為－10的兩條直線l₁和l₂，l₁和l₂與函數的圖象分別相交于A、B兩點和C、D兩點，O為坐標原點。

（1）求函數y=f(x)的對稱中心的坐標；

（2）若線段AB和CD的中點分別為M，N，求三角OMN面積的取值范圍。

Answer 1

（1）（1，1）     （2）≥

解析:

（1）由圖像可設y=f(x)=ax(x-1)(x-2)+1

=ax³-3ax²+2ax+1

∵(xⁿ)′=nx^n-1(n∈Z),∴F(x)為四次函數，可設F(x)=,      2分

又F（1）＝2，F（－1）＝2，     ∴            

∴f(x)=x³-3x²+2x+1=(x-1)³-x+2

設函數f(x)的圖象關于點（m,n）對稱，則對任意的x都有f(x)+f(2m-x)=2n,

∴（x-1）3+(2m-x-1)3-2m+4=2n

令x=1與x=m有　　　　6(m-1)³=0       m=1

∴n=f(m)=f(1)=1  ∴對稱中心的坐標為（1，1）.                        6分

另解：f′(x)=3x²-5x+2，設x₁,x₂為f′(x)=0的兩根，

可知對稱中心的橫坐標  ∴,

∴縱坐標為f(1)=1        ∴對稱中心為（1，1）                6分

（2）由（1）可知,

分別設A（x_1，y₁）,B(x_2，y₂)，C(x_3，y₃)，D(x₄,y₄)，M(x₅,y₅)，N(x₆,y₆).

由題可設l₁的方程為y=k(x-1)，代入y=x²得x²=kx+l=0,

∴＞0　　k＞4或k＜0　　　　�、�

l₂的方程為，同理有kx²+10x-10=0         8分

＞                                  ②

由①，②有＜k＜0或k＞4    由上可知，

同理　　，   ∵＜0,∴M,N兩點在y軸的兩側.

若M點在y軸左側（如下圖所示），則S_ΔOMN＝S_梯形MPQN－S_ΔOQN－S_ΔOMP

＝＝，

同理當M點在y軸的右側時，

∴，     11分

令,由雙勾函數的性質可知，在＜k＜0或k＞4時，

t＜或t≥  ∴|t|≥    ∴≥       13分