Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{ax-1}$（x∈R，x≠$\frac{1}{a}$，a為給定的實數(shù)），求證：y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱．

Answer 1

分析 法一、要證這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形，設(shè)點P（x′，y′）是這個函數(shù)圖象上任意一點，證明其對稱點（y′，x′）也在此函數(shù)的圖象上即可；
法二、證明函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{ax-1}$（x∈R，x≠$\frac{1}{a}$，a為給定的實數(shù)）的反函數(shù)是本身．

解答 證明：法一、設(shè)點P（x′，y′）是這個函數(shù)圖象上任意一點，則x′≠$\frac{1}{a}$，且y′=$\frac{x′-1}{ax′-1}$
（1）點P（x′，y′）關(guān)于直線y=x的對稱點P′的坐標為（y′，x′），
由（1）式得y′（ax′-1）=x′-1，即x′（ay′-1）=y′-1，
（2）假如ay′-1=0，則y′=$\frac{1}{a}$，代入（1）得$\frac{1}{a}=\frac{x′-1}{ax′-1}$，
即ax′-a=ax′-1，由此得a=1，與已知矛盾，∴ay′-1≠0．
于是由（2）式得x′=$\frac{y′-1}{ay′-1}$．
這說明點P′（y′，x′）在已知函數(shù)的圖象上，
因此，這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形；
法二、由y=$\frac{x-1}{ax-1}$（x≠$\frac{1}{a}$），得axy-y=x-1，即（ay-1）x=y-1，
∴x=$\frac{y-1}{ay-1}$，把x，y互換可得，y=$\frac{x-1}{ax-1}$（x≠$\frac{1}{a}$），即函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{ax-1}$（x∈R，x≠$\frac{1}{a}$，）與自身互為反函數(shù)，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱．

點評 本題主要考查了等價轉(zhuǎn)化能力和數(shù)式的運算能力，屬于中檔題．