Question

14．已知定義域為R的函數(shù)$f（x）=a-\frac{2}{{1+{2^x}}}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若對任意的x∈R，不等式f（x²-2x）+f（t-x）＞0恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（0）=0，求出a的值；
（2）先判斷當(dāng)x＞0時，顯然為增函數(shù)，利用奇函數(shù)關(guān)于原點對稱可得f（x）在R上也為增函數(shù)，不等式可整理為x²-3x+t＞0恒成立，利用判別式可求解．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=a-\frac{2}{{1+{2^x}}}$是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴a=1；
（2）$f（x）=a-\frac{2}{{1+{2^x}}}$，當(dāng)x＞0時，顯然為增函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）在R上也為增函數(shù)，
∵f（x²-2x）+f（t-x）＞0恒成立，
∴x²-3x+t＞0恒成立，
∴△=9-4t＜0，
∴$t＞\frac{9}{4}$．

點評 考查了奇函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．