Question

函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）-2x，b∈R
（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（II）設(shè)g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求證：對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g(shù)（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，定義域?yàn)椋?1，+∞）
∴對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得，
令，解得或…（2分）
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

由表格可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的極大值為f（）=；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值為f（）=； …（6分）
（2）∵g（x）=f（x）+2x，f（x）=x²+bln（x+1）-2x，∴g（x）=x²+bln（x+1），f（x）=g（x）-2x
∵f（x）=x²+bln（x+1）-2x，所以，其中x∈（-1，+∞）
因?yàn)閎≥2，所以f'（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)b=2，x=0時(shí)等號(hào)成立），所以f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增函數(shù)，
從而對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，+∞），當(dāng)x₁≥x₂時(shí)，f（x₁）≥f（x₂），
∴g（x₁）-2x₁≥g（x₂）-2x₂，整理得g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）…（10分）
所以對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g(shù)（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．…（12分）
分析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，定義域?yàn)椋?1，+∞）．然后利用求導(dǎo)數(shù)的方法，得x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況的表格，由表格可得到函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得，因?yàn)閎≥2，所以f'（x）≥0，得到f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增函數(shù)，從而得到對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，+∞），當(dāng)x₁≥x₂時(shí)，必定f（x₁）≥f（x₂），再結(jié)合g（x）=f（x）+2x化簡整理，即得g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂），命題得證．
點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)含有字母參數(shù)的基本初等函數(shù)，討論了函數(shù)的極值和單調(diào)性，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值和用函數(shù)證明恒等式的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．