Question

【題目】已知奇函數f（x）定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），f′（x）為其導函數，且滿足以下條件①x＞0時，f′（x）＜ ；②f（1）= ；③f（2x）=2f（x），則不等式 ＜2x2的解集為 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）
【解析】解：令F（x）= ，則F′（x）= ，
∵x＞0時，f′（x）＜ ，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調遞減，又f（x）為奇函數，
∴F（x）= 為偶函數，
∴F（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，
又f（1）= ，f（2x）=2f（x），
∴f（ ）= f（1）= ，f（ ）= f（ ）= ，
∴F（ ）= =8，
∴ ＜2x2等價于 ＜8，即F（x）＜F（ ），故|x|＞ ，
解得：x＞ 或x＜﹣ ．
所以答案是：（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．