Question

【題目】如圖，正四棱錐 中底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的正切值為．

（I）求正四棱錐 的外接球半徑；

（II）若 是 中點(diǎn)，求異面直線(xiàn) 與 所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)， 交于點(diǎn)，連結(jié)，則面，利用側(cè)棱與底面所成角的正切值為，可得，利用勾股定理建立方程，求出；（2）容易證明以且，可得就是異面直線(xiàn)與所成的角，在中求解.

試題解析：（1）連結(jié)， 交于點(diǎn)，連結(jié)，則面，

∴就是與底面所成的角，

， 又，則．

設(shè)為外接球球心，連，易知，設(shè)，則， ∴，

∴正四棱錐的外接球半徑為；

（2）連結(jié)，由于為中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，所以 ．

∴就是異面直線(xiàn)與所成的角．

在中， ，∴．

由， 可知面， 所以，

在中， ，

即異面直線(xiàn)PD與AE所成角的正切值為．