Question

某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益（單位：元）滿足R（x）=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000，x＞400

其中x（單位：臺(tái)）是儀器的月產(chǎn)量．
（1）將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f（x）；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司利潤(rùn)最大？最大為多少元？（總收益=總成本+利潤(rùn)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利潤(rùn)=收益-成本，由已知分兩段當(dāng)0≤x≤400時(shí)，和當(dāng)x＞400時(shí)，求出利潤(rùn)函數(shù)的解析式；
（2）分段求最大值，兩者大者為所求利潤(rùn)最大值．

解答： 解：（1）由于月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20000+100x，
從而利潤(rùn)f（x）=

300x- 1 2 x2-20000，0≤x≤400 60000-100x，x＞400

；
（2）當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f（x）=-

1

2

（x-300）²+25000，
所以當(dāng)x=300時(shí)，有最大值25000；
當(dāng)x＞400時(shí)，f（x）=60000-100x是減函數(shù)，
所以f（x）=60000-100×400＜25000．
所以當(dāng)x=300時(shí)，有最大值25000，
即當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是25000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用：生活中利潤(rùn)最大化問(wèn)題．函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值．