Question

某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2005年進(jìn)行一系列的促銷活動．經(jīng)市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足：3-x與t+1成反比例．如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件．又2005年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投資32萬元．當(dāng)將化妝品的售價(jià)定為“年平均成本的150%”與“年平均每件所占促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年的產(chǎn)銷量相等．
（1）試用促銷費(fèi)用t表示年銷售量x．
（2）將2005年的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)．
（3）該企業(yè)2005年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，3-x與t+1成反比例，列出關(guān)系式，然后根據(jù)當(dāng)t=0時，x=1，求出k的值
（2）通過x表示出年利潤y，并化簡，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)．
（3）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡即可求出最值，即促銷費(fèi)投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．

解答：解：（1）由題意：3-x=

k

t+1

，
且當(dāng)t=0時，x=1．
所以k=2，即x=

3t+1

t+1

．

（2）當(dāng)年銷量為x萬件時，成本為3+32x（萬元）．
化妝品的售價(jià)為

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

（萬元/萬件）
所以年利潤y=(

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

)x-(3+32x+t)（萬元）
把x=

3t+1

t+1

代入整理得到y=

-t2+98t+35

2(t+1)

，其中t≥0．
去分母整理得到：t²+2（y-49）t+2y-35=0．

（3）該關(guān)于t的方程在[0，+∞）上有解．
當(dāng)2y-35≤0，即y≤17.5時，必有一解．
當(dāng)2y-35＞0時，該關(guān)于t的方程必須有兩正根
所以

4(y-49)2-4(2y-35)≥0 -2(y-49)＞0 2y-35＞0

．解得：17.5＜y≤42．
綜上，年利潤最大為42萬元，此時促銷費(fèi)t=7（萬元）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的求法，注意建模、解模，實(shí)際問題的處理時，函數(shù)的定義域的范圍；考查理解問題分析問題和解答問題的能力．屬于中檔題．