Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax
（1）若x=

1

2

時(shí)，f（x）取得極值，求a的值；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)若x=

1

2

時(shí)，f（x）取得極值得f′（

1

2

）=0，解之即可；
（2）f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)可轉(zhuǎn)化成只需在（0，+∞）內(nèi)有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等關(guān)系，解之即可；

解答：解：f′(x)=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

，
（1）因?yàn)?x=

1

2

時(shí)，f（x）取得極值，所以 f′(

1

2

)=0，
即2+1+a=0，故a=-3．
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判別式△=a²-8，
①當(dāng)△≤0，即 -2

2

≤a≤2

2

時(shí)，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，此時(shí)f（x）為增函數(shù)．
②當(dāng)△＞0，即 a＜-2

2

或 a＞2

2

時(shí)，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
只需在（0，+∞）內(nèi)有2x²+ax+1≥0即可，
設(shè)h（x）=2x²+ax+1，
由

h(0)=1＞0 - a 2×2 ＜0

得a＞0，所以 a＞2

2

．
由①②可知，若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，a的取值范圍是 [-2

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體．主要考查了了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明，屬于中檔題