Question

函數(shù)y=

3-4x+x2

的定義域?yàn)镸，函數(shù)f（x）=4^x-2×2^x（x∈M）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)x∈M時(shí)，關(guān)于x的方程4^x-2×2^x=b（b∈R）有兩不等實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶次根號(hào)下要大于等于0，列出關(guān)于x的不等式，求出定義域M，再利用換元法，將f（x）=4^x-2×2^x（x∈M）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，即可求得答案；
（2）當(dāng)x∈M時(shí)，關(guān)于x的方程4^x-2×2^x=b（b∈R）有兩不等實(shí)數(shù)根，y=f（x）與y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用（1）的結(jié)論，畫(huà)出圖象，即可求得b的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得3-4x+x²≥0，即x²-4x+3≥0，
∴x≤1或x≥3，
∴M={x|x≤1或x≥3}，
∵f（x）=4^x-2×2^x（x∈M），
令t=2^x，由x≤1或x≥3，則0＜t≤2或t≥8，
∴f（t）=t²-2t=（t-1）²-1，t∈（0，2]∪[8，+∞），
∴f（t）∈[-1，0]∪[48，+∞），
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，0]∪[48，+∞）；
（2）∵當(dāng)x∈M時(shí)，關(guān)于x的方程4^x-2×2^x=b（b∈R）有兩不等實(shí)數(shù)根，
∴y=f（x）（x∈M）與y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
畫(huà)出圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得，-1＜b＜0，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域及其求法，同時(shí)考查了根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷．對(duì)于根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，一般選用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解決．求函數(shù)值域時(shí)使用了換元法，要特別注意換元以后新變量的取值范圍．屬于中檔題．