【題目】選修4—5: 不等式選講
已知函數(shù)f(x)= 的定義域為R.
(Ⅰ)求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)若m的最大值為n,當正數(shù)a,b滿足 =n時,求7a+4b的最小值.
【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)
【解析】試題分析:(1)由函數(shù)定義域為R,可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立,設函數(shù)g(x)=|x+1|+|x﹣3|,利用絕對值不等式的性質求出其最小值即可;
(2)由(1)知n=4,變形7a+4b=,利用基本不等式的性質即可得出.
試題解析:
(Ⅰ)由題意可知:+-m≥0對任意實數(shù)恒成立.
設函數(shù)g(x)=+,則m不大于函數(shù)g(x)的最小值.
又+≥=4.即g(x)的最小值為4,所以m≤4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知n=4,
∴7a+4b==
=≥=.
當且僅當a+2b=3a+b,即b=2a=時,等號成立.所以7a+4b的最小值為.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知分別為橢圓的左、右焦點,且橢圓經(jīng)過點和點,其中為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線橢圓于另一點,點在直線上,且.若,求直線的斜率.
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【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的倍,為側棱上的點.
(1)求證:;
(2)若平面,求二面角的大。
(3)在(2)的條件下,側棱上是否存在一點,使得平面.若存在,求的值;若不存在,試說明理由.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足a3=2,前3項和為S3=.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n項和Tn.
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【題目】在平面直角坐標系中,以為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為;直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線分別交于,兩點.
(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)若點的極坐標為,,求的值.
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【題目】某市政府為減輕汽車尾氣對大氣的污染,保衛(wèi)藍天,鼓勵廣大市民使用電動交通工具出行,決定為電動車(含電動自行車和電動汽車)免費提供電池檢測服務.現(xiàn)從全市已掛牌照的電動車中隨機抽取100輛委托專業(yè)機構免費為它們進行電池性能檢測,電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四個等級,并分成電動自行車和電動汽車兩個群體分別進行統(tǒng)計,樣本分布如圖.
(1)采用分層抽樣的方法從電池性能較好的電動車中隨機抽取9輛,再從這9輛中隨機抽取2輛,求至少有一輛為電動汽車的概率;
(2)為進一步提高市民對電動車的使用熱情,市政府準備為電動車車主一次性發(fā)放補助,標準如下:①電動自行車每輛補助300元;②電動汽車每輛補助500元;③對電池需要更換的電動車每輛額外補助400元.試求抽取的100輛電動車執(zhí)行此方案的預算;并利用樣本估計總體,試估計市政府執(zhí)行此方案的預算.
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【題目】已知函數(shù),其中,,,,且的最小值為,的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,的圖象關于原點對稱.
(1)求函數(shù)的解析式和單調遞增區(qū)間;
(2)在中,角所對的邊分別為,且,求.
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