Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinx•cosx+1，（x∈R）．
（1）化簡函數(shù)f（x），并求它的振幅、周期和初相；
（2）寫出函數(shù)f（x）的圖象是由y=sinx，（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到的？

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）根據(jù)二倍角的正弦與余弦及輔助角公式，將解析式化為y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質，求出最小正周期和最大值；
（2）該函數(shù)圖象可由y=sinx的圖象，按照向左平移，橫向伸縮，縱向伸縮，上下平移的方法，即可得到函數(shù)f（x）=2sin(2x+

π

6

)+2的圖象．

解答： 解：（1）由題意得，
f（x）=2cos²x+2

3

sinx•cosx+1
=cos2x+

3

sin2x+2
=2sin(2x+

π

6

)+2，
∴f（x）的振幅是2、周期T=π，初相是

π

6

；
（2）先由y=sinx的圖象經(jīng)過向左平移

π

6

個單位，橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，縱坐標擴大到原來的2倍，橫坐標不變，然后把函數(shù)的圖象向上平移2個單位，即可得到函數(shù)f（x）=2sin(2x+

π

6

)+2的圖象．

點評：本題考查了二倍角的正弦與余弦、輔助角公式的應用，正弦函數(shù)的周期性、y=Asin（ωx+φ）+B系數(shù)的物理意義，以及三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B圖象的變換，函數(shù)圖象的變換注意x 的系數(shù)，屬于中檔題．