Question

設(shè)f（x）和g（x）都是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，若對任意x∈[1，2]，都有|f（x）+g（x）|≤8，則稱f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”，設(shè)f（x）=ax，g（x）=

b

x

（1）若a∈{1，4}，b∈{-1，1，4}，求f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”的概率；
（2）若a∈{1，4}，b∈{1，4}，求f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：新定義

分析：（1）由題意知本題第一問是古典概型問題，先寫出試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)，再求出滿足條件的事件數(shù)，即可得到結(jié)果．
（2）由題意知，需先寫出試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)，再求出滿足條件的事件數(shù)，即可得到結(jié)果．

解答： 解：（1）由于a∈{1，4}，b∈{-1，1，4}，f（x）=ax，g（x）=

b

x

則可構(gòu)成如下：f（x）+g（x）=x-

1

x

，f（x）+g（x）=x+

1

x

，f（x）+g（x）=x+

4

x

，
f（x）+g（x）=4x-

1

x

，f（x）+g（x）=4x+

1

x

，f（x）+g（x）=4x+

4

x

，共6種情況，
由于f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”，則對任意x∈[1，2]，都有|f（x）+g（x）|≤8，
則f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”包含以下：f（x）+g（x）=x-

1

x

，
f（x）+g（x）=x+

1

x

，f（x）+g（x）=x+

4

x

，f（x）+g（x）=4x-

1

x

，共4種情況
故f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”的概率P為

4

6

=

2

3

；
（2）由于a∈{1，4}，b∈{1，4}，f（x）=ax，g（x）=

b

x

則可構(gòu)成如下：f（x）+g（x）=x+

1

x

，f（x）+g（x）=x+

4

x

，
f（x）+g（x）=4x+

1

x

，f（x）+g（x）=4x+

4

x

，共4種情況，
由于f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”，則對任意x∈[1，2]，都有|f（x）+g（x）|≤8，
則f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”包含以下：
f（x）+g（x）=x+

1

x

，f（x）+g（x）=x+

4

x

，共2種情況
故f（x）和g（x）是“友好函數(shù)”的概率P為

2

4

=

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了古典概型，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以新定義的運(yùn)用為載體，考查概率問題，屬于中檔題．