Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（I）若f（x）在x=1時，有極值-1，求b、c的值；
（II）當b為非零實數(shù)時，證明：f（x）的圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線；
（III）記函數(shù)|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，
由f（x）在x=1時，有極值-1得
即解得（3分）
當b=1，c=-5時，
f′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1），
當x＞1時，f′（x）＞0，
當-＜x＜1時，f′（x）＜0．
從而符合在x=1時，f（x）有極值，（4分）
（Ⅱ）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²-c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t²+2bt+c，
直線（b²-c）x+y+1=0的斜率為c-b²，
∴3t²+2bt+c=c-b²，（7分）
即3t²+2bt+b²=0．
∵△=4（b²-3b²）=-8b²，
又∵b≠0，∴△＜0．
從而方程3t²+2bt+b²=0無解，
因此不存在t，使f′（t）=c-b²，
卻f（x）的圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線．（8分）
（Ⅲ）∵|f′（x）|=|3（x+）²+c|，
①若|-|＞1，則M應是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一個，
∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|＞12，
∴M＞6，從而M≥．（10分）
②當-3≤b≤0時，2M≥|f′（-1）|+|f′（，）|
=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|（b-3）²|≥3，所以M≥．（12分）
③當0＜b≤3時，2M≥|f′（1）|+|f′（-）|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3|
=|（b+3）²|＞3，∴M≥．
綜上所述，M≥．（14分）
分析：（1）由f（x）在x=1時，有極值-1，可得解得，要注意驗證．
（Ⅱ）先假設存在，則該直線的斜率等于該點處的導數(shù)建立方程3t²+2bt+c=c-b²，即3t²+2bt+b²=0有無根．
（Ⅲ）|f′（x）|=|3（x+）²+c|，由二次函數(shù)最值求法去討論求解．
點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義及導數(shù)作為一個函數(shù)在解題中的應用．