Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若AB=BC=2EF=2，BD與平面BCF成30°的角，求二面角F-BD-C的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由四邊形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能證明AB∥EF．
（Ⅱ）過點D作DG⊥CF，則DG⊥面BCF，可得∠DBG為BD與平面BCF所成角；取DC中點M，連接FM，則FM⊥面ABCD，過M作MN⊥BD交BD于點N，連接FN，則∠FNM即為二面角F-BD-C的平面角，即可求出二面角F-BD-C的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB∥CD，CD?面CDEF，AB?面CDEF，
∴AB∥面CDEF．
又∵AB?面ABEF，面ABEF∩面CDEF=EF，
∴AB∥EF；
（Ⅱ）解：∵DE⊥面ABCD，∴DE⊥BC．
又∵BC⊥CD，∴BC⊥面CDEF．
又∵BC?面BCF，∴面BCF⊥面CDEF．
過點D作DG⊥CF，則DG⊥面BCF，∴∠DBG為BD與平面BCF所成角．即∠DBG=30°
又BD=2

2

，∴DG=BD•sin30°=

2

，則DE=1且點G與點F重合．
取DC中點M，連接FM，則FM⊥面ABCD，
過M作MN⊥BD交BD于點N，連接FN，則∠FNM即為二面角F-BD-C的平面角，
∴tan∠FNM=

FM

MN

=

1

2 2

=

2

點評：本題考查直線平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查線面角、面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．