(1)解:由
.
因?yàn)閧b
n}是正整數(shù)列,所以
.
于是{b
n}是等比數(shù)列,
又b
1=1,b
2=λ,所以
(2分)
因?yàn)閒(x)=x
2+x,所以f'(x)=2x+1,
∵a
n+1=f'(a
n)
∴a
n+1=2a
n+1
∴a
n+1+1=2(a
n+1)
∵a
1=3,
∴數(shù)列{a
n+1}是以4為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.
∴a
n+1=4×2
n-1=2
n+1∴
(5分)
(2)解:由2(λb
n+c
n-1)=2nλb
n+a
n-1得:
.
由
及
得:
(6分)
設(shè)
①
②
當(dāng)λ≠1時(shí),①式減去②式,得
于是,
(8分)
這時(shí)數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和
(9分)
當(dāng)λ=1時(shí),
.這時(shí)數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和
(10分)
(3)證明:通過分析,推測(cè)數(shù)列
的第一項(xiàng)
最大,
下面證明:
,n≥2③(11分)
由λ>0知c
n>0要使③式成立,只要
,
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/137625.png' />=4(n-1)λ
n+1+2
n+2≥2nλ
n+1+2
n+2=2c
n+1,n≥2. 所以③式成立.
因此,存在k=1,使得
對(duì)任意n∈N
*均成立.(14分)
分析:(1)根據(jù)
,{b
n}是正整數(shù)列,可知
,利用b
1=1,b
2=λ,可得
因?yàn)閒(x)=x
2+x,所以f'(x)=2x+1,根據(jù)a
n+1=f'(a
n),可得a
n+1=2a
n+1,從而可知數(shù)列{a
n+1}是以4為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,故可求數(shù)列{a
n}}的通項(xiàng)公式;
(2)由2(λb
n+c
n-1)=2nλb
n+a
n-1得:
,從而可得
,設(shè)
,當(dāng)λ≠1時(shí),利用錯(cuò)位相減法可求和;當(dāng)λ=1時(shí),
.這時(shí)數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和
;
(3)通過分析,推測(cè)數(shù)列
的第一項(xiàng)
最大,證明
,即可知存在k=1,使得
對(duì)任意n∈N
*均成立.
點(diǎn)評(píng):本題以數(shù)列的性質(zhì)為載體,考查數(shù)列通項(xiàng)的求解,考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系,考查了錯(cuò)位相減法求和,同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué),綜合性較強(qiáng).