Question

5．設(shè)A和B分別是兩個等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和，且$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{7n+35}{n+2}$，則使得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列前n項和與某些特殊項之間的關(guān)系計算即可．

解答 解：由等差數(shù)列的前n項和及等差中項，
可得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{\frac{1}{2}（_{1}+_{2n-1}）}$
=$\frac{\frac{1}{2}（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{\frac{1}{2}（2n-1）（_{1}+_{2n-1}）}$
=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$
=$\frac{7×（2n-1）+35}{（2n-1）+2}$
=7+$\frac{21}{2n+1}$（n∈N^*），
故n=1、3、10時，$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$為整數(shù)，
故選：C．

點評 本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差中項的綜合應(yīng)用以及分離常數(shù)法，數(shù)的整除性是傳統(tǒng)問題的進一步深化，對教學研究有很好的啟示作用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．