【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，△PAB是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)．

(1)證明：PB∥平面AMC；

(2)求直線BD與平面AMC所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，由三角形中位線可得OM∥PB. 再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系得結(jié)果．

試題解析：(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OM，因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形，OB＝OD，又M為PD的中點(diǎn)，所以OM∥PB.

由PB平面AMC，OM平面AMC，所以PB∥平面ACM.

(2)取AB的中點(diǎn)N，連接PN，ND，則∠AND＝90°，

分別以NB，ND，NP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N－xyz，

則B，C，

A，D，P，M，

則＝，＝.

設(shè)平面AMC的法向量為n＝(x，y，z)，

則令y＝，則x＝－1，

z＝－，即n＝.又＝，設(shè)直線BD與n所成的角為θ，則cosθ＝＝，故直線BD與平面AMC所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)集（，）具有性質(zhì)：對(duì)任意、（），與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合，現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：①數(shù)集具有性質(zhì)；②數(shù)集具有性質(zhì)；③若數(shù)集具有性質(zhì)，則；④若數(shù)集（）具有性質(zhì)，則；其中真命題有________（填寫序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某零售公司從1月至6月的銷售量與利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

月份

1

2

3

4

5

6

銷售量/萬件

6

8

12

13

11

10

利潤(rùn)/萬元

12

16

26

29

25

22

（1）根據(jù)2月至5月4個(gè)月的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程.（的結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；

（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差均不超過1萬元，則認(rèn)為得到的回歸直線方程是有效的.試用1月和6月的數(shù)據(jù)估計(jì)所得的回歸直線方程是否有效？

參考公式：，.

參考數(shù)據(jù)：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船進(jìn)行捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬元，從第二年開始包括維修費(fèi)在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元.

（1）該船捕撈第幾年開始盈利？

（2）若該船捕撈年后，年平均盈利達(dá)到最大值，該漁業(yè)公司以24萬元的價(jià)格將捕撈船賣出；求并求總的盈利值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相互統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”.下列有關(guān)說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)

①對(duì)圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；

②函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)；

③存在圓，使得是圓的太極函數(shù)；

④直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù).

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求證：MN∥平面BDE；

(2)求二面角CEMN的正弦值；

(3)已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)， ，若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的最小值；

（2）若的圖像關(guān)于對(duì)稱，且時(shí)， ，求當(dāng)時(shí)， 的解析式；

（3）當(dāng)時(shí)， .若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列幾個(gè)命題：①若方程的兩個(gè)根異號(hào)，則實(shí)數(shù)；②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；③函數(shù) 在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；④ 方程 的根滿足，則m滿足的范圍，其中不正確的是（ ）

A.①B.②C.③D.④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)二次函數(shù)滿足下列條件：當(dāng)時(shí)，的最小值為0，且成立；當(dāng)時(shí)，恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若對(duì)，不等式恒成立、求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求最大的實(shí)數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)，只要當(dāng)時(shí)，就有成立.

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