Question

函數(shù)f（x）=cos²x+2sinx（x∈[0，

5π

4

]）的值域是

[

1

2

-

2

2

，2]

．

Answer 1

分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 2-（sinx-1）²，再由-

2

2

≤sinx≤1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=cos²x+2sinx=1-sin²x+2sinx=2-（sinx-1）²，0≤x≤

5π

4

，-

2

2

≤sinx≤1，
∴當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值等于2．
當(dāng)sinx=-

2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值等于2-(-

2

2

-1)2=

1

2

-

2

2

．
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

1

2

-

2

2

，2]，
故答案為[

1

2

-

2

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．