Question

20．當(dāng)x為何值時，函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+6}$有最小值？并求出最小值．

Answer 1

分析 函數(shù)化為f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+2}$，根據(jù)點與點的距離公式，可以得到幾何意義是：x軸上一點C（x，0）到兩點A（1，1）、B（2，2）的距離之和．
在x軸另一側(cè)作出點A的對稱點，則A₁（1，-1），即可求出其最小值，根據(jù)兩點式求出直線A₁B的方程，則方程與x軸的交點的橫坐標(biāo)即可所求的x的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+6}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+2}$，
上式右邊的幾何意義是：x軸上一點C（x，0）到兩點A（1，1）、B（2，2）的距離之和．
在x軸另一側(cè)作出點A的對稱點，則A₁（1，-1），
∴|CA|+|CB|=|A₁B|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
則點A₁，B的直線方程為$\frac{y-2}{2-（-1）}=\frac{x-2}{2-1}$，即y=3x-4，
令y=0．解得x=$\frac{4}{3}$，
故點C的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，0），
∴當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了點與點的距離公式，直線方程，和最短路線問題，屬于中檔題．