Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，設(shè)b_n=log₂（a_n+1），
（1）求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（3）設(shè)cn=

2bn

an•an+1

，①求數(shù)列{c_n}的最大值．②求

lim

n→∞

(c₁+c₂+…+c_n）．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件，利用等比數(shù)列的定義，直接求出a_n+1=2（a_n-1+1），即可求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）利用（1）直接求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，然后求出{b_n}的通項公式b_n；
（3）通過cn=

2bn

an•an+1

，求出表達式，①說明數(shù)列的遞減數(shù)列即可求數(shù)列{c_n}的最大值．
②通過裂項法求出c₁+c₂+…+c_n的值，然后求出它的極限．

解答：解：（1）當n=1時，S₁=2a₁-1，得a₁=1．                   （1分）
∵S_n=2a_n-n，
∴當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1．    （3分）
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），（5分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列．   （6分）
（2）由（1）得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．   （8分）
∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N^*．               （10分）
（3）cn=

2n

anan+1

，cn+1=

2n+1

an+1an+2

①

cn+1-cn= 2n+1 (2n+1-1)(2n+2-1) - 2n (2n-1)(2n+1-1) = -2×4n-2n (2n+1-1)(2n+2-1)(2n-1) ＜0

∴數(shù)列{c_n}單調(diào)遞減．（12分）
∴①n=1時數(shù)列{c_n}的最大值為c1=

2

3

．（14分）
②由cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，（16分）
所以c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2n+1-1

．∴

lim

n→∞

(c₁+c₂+…+c_n）=1．（18分）

點評：本題是綜合題，考查數(shù)列的基本性質(zhì)，等比數(shù)列的證明，通項公式的求法，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列求和的極限，考查計算能力，注意解題方法的應(yīng)用．