Question

已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y-29=0相切．
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）設直線ax-y+5=0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（-2，4）．

Answer 1

解：（1）設圓心為M（m，0）（m∈Z），∵圓C與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，
∴圓心到直線4x+3y-29=0的距離d=r，即=5，即|4m-29|=25．
∵m為整數，∴m=1，則所求圓的方程為（x-1）²+y²=25．
（2）由題意，圓心到直線的距離為d=＜5，∴12a²-5a＞0，∴a＜0，或a＞，
則實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（，+∞）．
（3）假設存在，則PC⊥AB，∴×a=-1，∴a=．
∵＞，∴存在a=，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．
分析：（1）設圓心M的坐標為（m，0），且m是整數，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，求得m的值，即可得到圓C的方程．
（2）利用圓心到直線的距離小于半徑，解不等式可得實數a的取值范圍．
（3）假設存在，則PC⊥AB，再根據它們的斜率之積等于-1，求得a的值，從而得出結論．
點評：本題考查求圓的標準方程，直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．