Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（I）若x=-

1

3

是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在[1，a]上的最大值；
（II）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）首利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求出a的值，確定函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的單調(diào)性，求出函數(shù)極值的大小并與端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較，即可求出函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）可以先假設(shè)存在，將函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于方程x³-4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方程x²-4x-3-b=0有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）依題意，求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵x=-

1

3

是f(x)的極值點(diǎn)
∴f′（-

1

3

）=0，∴

1

3

+

2

3

a-3=0，∴a=4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，解得x₁=-

1

3

，x₂=3，
∴函數(shù)在（1，3）上單調(diào)減，（3，4）上單調(diào)增
而f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，∴f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于方程x³-4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程x²-4x-3-b=0有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，
則

△=16+4(b+3)＞0 -3-b≠0

，即b＞-7且b≠-3，
故滿(mǎn)足條件的b存在，其取值范圍是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查圖象的交點(diǎn)，熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，將圖象的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的研究是解題的關(guān)鍵．